Variétés différentielles, physique et invariants topologiques, livre ebook

La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.

Introduction 71 Variétés topologiques 131.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Groupe fondamental 392.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 502.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 542.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Catégories et foncteurs 613.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Variétés différentiables 854.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 854.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . . . . . 924.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 1014.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces fibrés 1095.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 1185.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Algèbre tensorielle et extérieure 1356.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1356.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . . . . 1376.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 1466.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 1506.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 Formes différentielles 1577.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . 1647.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . . . 1667.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 Géométrie riemannienne 1758.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 Algèbre homologique 2119.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Variétés complexes 24710.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811 Connexions sur les fibrés 27111.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27111.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312 Théorie de l’indice 28712.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113 Systèmes hamiltoniens 31513.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32013.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . 33313.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514 Relativité générale 34914.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 35614.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Bibliographie 365