UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE NOVEMBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 2H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = ln(1 + x)? sinx ex ? x? 1 . Exercice 2 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = (2 + x) √ 1+x . Exercice 3 Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre n en a puis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité de tan x à l'ordre 3 au voisinage de pi/4. Exercice 4 Soit f une fonction continue en x = 1 et admettant au voisinage de 1 le développement limité f(x) = 2 ? 3(x? 1) ? 2(x? 1)3 + ?((x? 1)3) . Faire le dessin représentant l'allure du graphe de la fonction au voisinage de 1. Exercice 5 Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction f définie sur R par f(x) = ? ? ? x2 ? ax + b si x > ?1 a2 si x = ?1 ?2ax + b si x < ?1 soit continue sur R.

• courbe


• développement limité


• semestre d'automne responsable


• formule de taylor-young


• ex ?


• division suivant les puissances croissantes


• dessin grossier du graphe