Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Feuille 11 d'exercices Integrales multiples, changements de variables Sauf mention contraire, N (ou N2 ) sera toujours muni de la tribu discrete et de la mesure de comptage, et R (ou plus generalement R2, R3, . . . ) de la tribu borelienne et de la mesure de Lebesgue. 1. Soient (X,A, µ) et (Y,B, ?) deux espaces mesures ? – finis. Montrer que ∫ X?Y (f ? g) d(µ? ?) = ( ∫ X f dµ ) ( ∫ Y g d? ) dans les deux cas suivants : (a) f : X ?? [ 0, +∞ [ et g : Y ?? [ 0, +∞ [ sont des fonctions mesurables, (b) f : X ?? C et g : Y ?? C sont des fonctions integrables. Rappelons que f ? g designe la fonction (x, y) 7?? f(x) g(y) sur X ? Y . 2. Soit (xm,n)(m,n)?N2 une suite a deux indices dans [ 0, +∞ ] . Montrer que ∑+∞ m=0 ∑+∞ n=0 xm,n = ∑+∞ n=0 ∑+∞ m=0 xm,n (a) en utilisant le theoreme de Beppo–Levi (plus precisement l'

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