Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Généralités d'algèbre linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Généralités d’algèbre linéaire Exercice 7 [ 03133 ] [correction] Soient a,b∈R distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme ϕ de R [X] vérifiantExercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f∈L(E) tel que pour tout x∈E, x et f(x) soient colinéaires. ϕ(1) = 1, ϕ(X) =X et∀P∈R [X],P (a) =P (b) = 0⇒ϕ(P ) = 0 Montrer que f est une homothétie vectorielle. Exercice 8 [ 03247 ] [correction]Exercice 2 [ 03418 ] [correction] Soient u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E et F un sous-espaceSoient f,g∈L(E,F ). On suppose vectoriel de E. −1∀x∈E,∃λ ∈K,g(x) =λ f(x)x x a) Exprimer u (u(F )) en fonction de F et de keru. −1b) u(u (F )) en de F et de Imu. Montrer qu’il existe λ∈K tel que −1 −1c) A quelle condition a-t-on u(u (F )) =u (u(F ))? g =λf Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 03286 ] [correction] Exercice 3 [ 00160 ] [correction] Caractériser les sous-espaces F d’un espace vectoriel E tels que Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E. −1 −1h (h(F )) =h(h (F ))Comparer : a) F∩ (G +H) et (F∩G) + (F∩H). b) F + (G∩H) et (F +G)∩ (F +H). Exercice 10 [ 03408 ] [correction] SoitK une algèbre intègre surR de dimension finie n> 2. On assimileR àR.1 où Exercice 4 [ 00161 ] [correction] 1 est l’élément deK neutre pour le produit. A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un a) Montrer que tout élément non nul deK est inversible. sous-espace vectoriel?