Etude expérimentale et théorique du comportement d'un tunnel renforcé par boulonnage frontal

Annexe A. Modèle analytique : résolution détaillée et résultats 175 Annexe A Modèle analytique : résolution détaillée et résultats A.1. Solution détaillée pour le scénario A Phase A1 – Matériaux élastiques Dans cette phase, le sol et les boulons ont un comportement élastique en tout point. Dès l’instant initial, une zone de descellement EL’ apparaît en paroi, où on a rupture de scellement, et se propage à partir du front sur une distance x. Au-delà, les deux constituants adhèrent parfaitement ensemble. Dans la zone élastique extérieure EL, en substituant l’équation (II.27) dans la relation (II.24) avec ζ=0 et en éliminant σ grâce à l’équation d’équilibre (II.17), on obtient l’équation différentielle suivante selon la θseule variable σ : r34BR E βR²⎛ ⎞s(A.1) ∂ σ + 1 + = 0 ⎜ ⎟r r 4r r²⎝ ⎠D’où, d’après la prise en compte des conditions aux limites en r →∞ : 5 3⎛ ⎞βR R(A.2) σ = −P + 4BE ⎜ + ⎟ r ∞ s 5 3⎜ ⎟5r 3r⎝ ⎠- +Pour déterminer la constante B, on écrit la continuité de T (r) au rayon x, c’est-à-dire T (x )=T (x ) où le b b bmembre de gauche provient de l’expression (II.16) et celui de droite de l’expression (II.13) : 2B(A.3) T (x) = pq (x − R) = S E b s b b 3xOn obtient aisément, en fonction du rayon adimensionnel X = x/R : 3KC(X −1)X(A.4) B = 2 βEsDans la zone élastique intérieure EL’, la relation liant la déformation radiale du sol et les contraintes de ce dernier s’écrit : 1 s s(A.5) ∂ u = ε = ( σ − σ ) r r r θEsEn combinant cette ...