Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien1.1. ThéorèmeLa fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et :x xlim e = 0 et lim e = +¥xfi-¥ xfi+¥Démonstration :• Continuité La fonction exponentielle est solution, sur  , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairementdérivable sur  et par conséquent continue sur  .• Stricte monotonieLa fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictementcroissante sur  .Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par :x ye  e ? x  y (Voir illustration, figure 1)Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des inéquations.• LimitesMontrons, tout d'abord, que pour tout x ˛  :xe  xPour cela, on étudie les variations de la fonction g définie sur  par : Technique à connaître : pour comparerdeux quantités, on étudie le signe dexg(x) = e - xleur différence.La fonction g est dérivable sur  et pour tout x ˛  :x x 0g'(x) = e - 1 = e - eComme la fonction exponentielle est croissante sur  , on en déduit :x 0x  0 ? e  e ? g'(x)  0D'où le sens de variation de la fonction g :x -¥ 0 +¥Signe de la dérivée g' 0- +Variations de la fonction g1La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 :0m = g(0) = e - 0 = 1Par conséquent la fonction g est strictement positive ...