Cours m&i

Mesure et int´egration(Notes de cours)Xavier MARY2Table des mati`eres1 Introduction 71.1 Le probl`eme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Int´egrale de Riemann, int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . 91.3 Mesures et probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I Th´eorie de la mesure 111 Alg`ebres et tribus de parties d’un ensemble 131.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Tribu engendr´ee, tribu image r´eciproque . . . . . . . . . . . . 141.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Produit d’espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 La tribu bor´elienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Compl´ements: π-syst`eme, λ-syst`eme, classe monotone . . . . 182 Mesure, espace mesur´e 212.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Propri´et´es ´el´ementaires, caract´erisation d’une mesure finie . . 223 Prolongement d’une mesure et applications 253.1 Th´eor`eme de prolongement (Carath´eodory) . . . . . . . . . . 253.2 Mesure ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Application: la mesure de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Ensembles n´egligeables, tribu et mesure compl´et´ee . . . . . . 293.5 Produit fini d’une famille d’espaces mesur´es . . . . . . . . . . 304 Applications mesurables 314.1 D´efinition d’une application mesurable . . . ...