CCSE 2003 mathematiques 1 classe prepa pc

MATHÉMATIQUES I Filière PC MATHÉMATIQUES I Filière PCMATHÉMATIQUES I Filière PCPlan du problème PréliminairesDans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les Soit a ∈ IR et b ∈ ]a, +∞[+∪{}∞ , fg et deux applications continues par mor-applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour ceaux sur [ab, [ à valeurs strictement positives.établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com- 1) On suppose que g est intégrable sur .[ab, [portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées quia) Montrer qu’en bf, la relation =o()g entraîne précèdent.b bf =og .Rappels et notations∫ ∫x x• Soient fg et deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s’annu- b bb) Montrer qu’en , la relation ∼g entraîne f ∼ g∫ ∫lant pas au voisinage d’un élément b ∈ IR ∪{}+∞∞, – , sauf éventuellement en x x(on justifiera l’intégrabilité de f sur les intervalles [xb, [ considérés).ce point. fg et sont dites équivalentes en b si et seulement si leur quotienttend vers 1 en bf. On notera alors ∼g en bf. est dite négligeable devant2) On suppose que g n’est pas intégrable sur [ab, [ .gb en si et seulement si le quotient f⁄ tend vers 0 en b . On notera alors x xa) Montrer qu’en bf, la relation =o()g entraîne f =og .∫ ∫fo= ()g en b . a aMontrer à l’aide d’exemples que l’on ne peut en général rien dire de l’intégrabi-• Soient ()u et ()v deux ...